高中数学不等式知识点及技巧
不等式是高中数学的重要知识点，也是比较令人头疼的考点。这篇文章梳理以下基本知识点和常用解题技巧。不等式主要有3类：
（1）均值不等式
（2）柯西不等式
（3）权方和不等式
均值不等式是基础，柯西不等式是进阶，权方和不等式是升华。这篇文章先从基本的均值不等式讲起。
一、均值不等式的基本形式
以上不等式，当且仅当a = b时取等号。第三个不等式链条从左到右依次是调和平均数≤几何平均数≤算数平均数≤平方平均数。
上述不等式均可以向多维变量进行扩展。
不等式应用时要注意七字真言：一“正”、二“定”、三“相等”，即变量是正数，和或积为定值时才能取等号。
二、均值不等式解题技巧
配凑法，通过配项或调系数，达到定和或定积的条件，进而运用均值不等式
例1 求函数的最小值。
分析：函数是和的形式，但积不是定值，需要配凑。
解：
当且仅当，即时取等号。所以y的最小值是。
习题1：若函数（）（答案：3）
习题2：已知，求的最小值。（答案：8）
⭐习题3：求的最大值。（答案：)
2.分裂法，通等式变形构造出均值不等式的应用条件。
例2 设x>-1，求函数的最小值。
解：由x+1>0可得
当且仅当，即x=1时取等号，所以y的最小值为9。
习题4：已知，求的最大值。（答案：-4）
习题5：已知，求的最小值。（答案：3/2）
3.妙用常数
例3 已知，求x+y的最小值。
解：
当且仅当时取等号，所以x+y的最小值为。
例4 已知正数
解：
当且仅当，即时取等号。
在配用常数时，一定要注意化齐次，看下面这个例题。
例5 已知正实数
此处直接乘（x+y)是做不下去的，会出现非齐次项。事实上，原式中x/y已经是其次项，处理中避开该项即可。易求得答案.
习题6：已知（答案：)
习题7：已知（答案：）
习题8：已知正数（答案：36）
4.待定系数法，难以直接确定配凑项的，可以用待定系数法确定拼凑项
例6 已知实数,求x+y的最小值。
解：设,求得
利用常数易求最小值为.
5.消元法
例7 已知正实数
解：由可得，所以
。
习题9：已知正实数（答案：25）
6.同时出现x+y和xy，求哪个则保留哪个
例8 已知正实数
解：，当且仅当x=y时取等号。
令,则
同理，求xy的最值时保留xy
，,当且仅当x=y时取等号。
令,
习题10：已知正实数（答案：)
7.齐次化法
在前面妙用常数法的时候讲到要注意齐次问题，实际上对于已经齐次的式子，可以设法降次处理。
例9 若不等式对满足恒成立，求实数c的最大值。
解：由题意知
恒成立，右侧是齐次式，设
=
当且仅当时取等号。
因此c的最大值为
习题11：已知（答案：）
习题12：若（答案：）
8.关于轮换对称式
例10 已知正实数
分析：容易发现关于a,b,c的不等式是轮换对称式，等号成立的条件是a=b=c=1/3。因此应拼凑
证：
三式相加即可得证。
例11 已知正实数a,b,c，求证
分析：易知轮换对称式在a=b=c时取等号，此时有，应构造使得
取等号,求得
证：，同理
,
三式相加即可得证，当且仅当a=b=c时取等号。
最后，看一道2022年数学高考真题。
【2022 全国卷】已知a,b,c均为正实数，，证明：
（1）;
（2）若，求证
标准答案采用柯西不等式，其实使用均值不等式也可以做。
证明：（1）
当且仅当a=b=2c时取等号。
∵a,b,c是正数，∴。
（2）若b=2c，
，当且仅当a=b=2c时取等号。
三、总结
1.牢记均值不等式的前提条件：一正、二定、三相等，在多个不等号串联的情形下尤其要主义取等条件。
2.需要掌握一定的变形技巧，创造条件应用不等式。
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